Question

設x_i，y_i （i=1，2，…，n）是實數，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一個排列．求證：

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）²．

Answer 1

分析：尋找使 

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）² 成立的充分條件為 

n

i=1

 xi•zi≤

n

i=1

 xi•yi ①．而由排序不等式可得①成立，從而得到要證的不等式成立．

解答：證明：要證

n

i-1

（x_i-y_i）²≥

n

i-1

（x_i-z_i）² ，只需證 

n

i=1

 yi2-2

n

i=1

 xi•yi≥

n

i=1

 zi2-2

n

i=1

 xi•zi，
由于

n

i=1

 yi2=

n

i=1

 zi2，故只需證

n

i=1

 xi•zi≤

n

i=1

 xi•yi ①．
而①的左邊為亂序和，右邊為順序和，根據排序不等式可得①成立，
故要證的不等式成立．

點評：本題主要考查用分析法證明不等式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．