Question

探究函數f（x）=x2+

2

x

(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．

x	…	0.25	0.5	0.75	1	1.1	1.2	1.5	2	3	5	…
y	…	8.063	4.25	3.229	3	3.028	3.081	3.583	5	9.667	25.4	…

已知：函數f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區間（0，1）上遞減，問：
（1）函數f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區間

[1，+∞）

上遞增．當x=

1

時，y_最小=

3

；
（2）函數g(x)=9x2+

2

3|x|

在定義域內有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）由表中數據可推測函數f（x）在區間[1，+∞）上遞增，從而當x=1 時，y_最小=3，證明此結論可利用導數或均值定理；
（2）利用換元法，設t=|3x|，將函數g（x）轉化為函數f（t），利用（1）中的結論求最值即可

解答：解：（1）由表中數據可知：函數f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區間[1，+∞）上遞增．
當x=1 時，y_最小=3．
故答案為[1，+∞），1，3
（2）由函數g（x）=9x2+

2

3|x|

=（3x）2+

2

|3x|

=t²+

2

t

，（令t=|3x|），
由（1）知函數g（x）有最小值3，
又因為g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函數，
所以函數g（x）取得最小值時t=3|x|=1，即x=±

1

3

點評：本題主要考查了利用列表法研究函數性質的方法，利用換元法求函數最值的方法，轉化化歸的思想方法