Question

【題目】設函數已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 和x=1處取得極值．
（1）求a，b的值及其單調區間；
（2）若對x∈[﹣1，2]不等式f（x）≤c2恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解；f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b

由 ，解得，a=﹣ ，b=﹣2，

f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），

函數f（x）的單調區間如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），遞減區間是（﹣ ，1）．

（2）解；f（x）=x3﹣ x2﹣2x+c，x∈[﹣1，2]，

當x=﹣ 時，f（x）= +c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．

要使f（x）＜c2對x∈[﹣1，2]恒成立，須且只需c2＞f（2）=2+c．

解得c＜﹣1或c＞2

【解析】（1）求出f′（x），因為函數在x=﹣ 與x=1時都取得極值，所以得到f′（﹣ ）=0且f′（1）=0聯立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導函數的正負得到函數的增減區間；（2）根據（1）函數的單調性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函數的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范圍即可
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．