Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的函數，且f（x）=f（-x），當a，b∈[-1，0]，且a≠b時恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，f（0）=1，．
（1）若f（x）＜2m+3對于x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍；
（2）若，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數單調性的定義，結合當a，b∈[-1，0]，且a≠b時恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0及偶函數在對稱區間上單調性相反，可分析出函數的單調性，進而求出函數的最值，得到m的取值范圍；
（2）結合（1）中所得函數的定義域和單調性，將抽象不等式具體化，解得x的取值范圍
解答：解：（1）由題意知：函數f（x）為偶函數，且x∈[-1，0]時，f（x）單調遞增．
故x∈[0，1]時，f（x）單調遞減．----------------------------------------（4分）
所以f（x）的最大值為f（0）=1，
故2m+3＞1⇒m＞-1------（7分）
（2）∵，∴-----------------------（10分）
由（1）函數f（x）的單調性可知⇒------------------------------------（13分）
點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，其中根據已知條件分析出函數的奇偶性是解答的關鍵．