Question

【題目】某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品（百臺），其總成本為G()（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產百臺的生產成本為萬元（總成本 = 固定成本 + 生產成本）；銷售收入R()（萬元）滿足：，假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律:

（Ⅰ）要使工廠有贏利，產量應控制在什么范圍？

（Ⅱ）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？

Answer 1

【答案】 (Ⅰ)產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內。

(Ⅱ)當工廠生產400臺產品時，贏利最多

【解析】

(Ⅰ)當時，解不等式；當時，解不等式，兩種情況求并集即可得結果；(Ⅱ) 時，，故當時，有最大值，而當時，，由此可知當工廠生產400臺產品時，贏利最多.

依題意，.設利潤函數為，則

(Ⅰ) 要使工廠有贏利，即解不等式，當時，

解不等式。

即.

∴ ∴，

當x>5時，解不等式，

得， ∴，

綜上所述，要使工廠贏利，應滿足，

即產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內。

(Ⅱ) 時，故當時，有最大值3.6.

而當時，

所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多