Question

如圖，半徑為R的球O的直徑AB垂直于平面α，垂足為B，△BCD是平面α內邊長為R的正三角形，線段AC、AD分別與球面交于點M、N，那么M、N兩點間的球面距離是

R•arccos

17

25

．（用R表示）

Answer 1

分析：求解本題需要根據題意求解出題目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的兩點距離．

解答：解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=

1

2

cos∠BAC=

2 5

5

連接OM，則△OAM為等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=

4 5

5

R，
同理AN=

4 5

5

R，且MN∥CD
而AC=

5

R，CD=R
故MN：CD=AN：AC
?MN=

4

5

R，
連接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=

OM2+ON2-MN2

2OM•ON

=

17

25

所以M、N兩點間的球面距離是 Rarccos

17

25

．
故答案為：R•arccos

17

25

．

點評：本題考查學生的空間想象能力，以及學生對球面上的點的距離求解，是中檔題．