Question

已知圓C同時滿足下列三個條件:①圓心在直線x-3y=0上;

②與y軸相切;③在x軸上截得的弦長AB為42.求圓C的一般方程.

Answer 1

圓的一般方程為x²+y²+6x+2y+1=0或x²+y²-6x-2y+1=0.

解析:

設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0,則圓心為,半徑為,

∵圓心在直線x-3y=0上,∴,即D=3E.①

又∵圓與y軸相切,∴,即E²-4F=0.②

圓的方程中令y=0,得x²+Dx+F=0,

設A(x₁,0),B(x₂,0),

依題意|x₁-x₂|=42即(x₁-x₂)²=32,∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂=32.∴D²-4F=32.③

由①②③解得D=6,E=2,F=1或D=-6,E=-2, F=1,?

故所求圓的一般方程為x²+y²+6x+2y+1=0或x²+y²-6x-2y+1=0.