Question

【題目】定義在R上的函數和二次函數滿足：，，

（1）求和的解析式；

（2）若對于，，均有成立，求a的取值范圍；

（3）設，在（2）的條件下，討論方程的解的個數．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）通過代替，推出方程，求解函數的解析式．利用是二次函數，且，可設，然后求解即可．

（2）設，，轉化條件為當時，，通過函數的單調性求解函數的最值，列出關系式即可求出實數的取值范圍．

（3）設，由（2）知，畫出函數在的圖象，設，則當，當，當，當，分別判斷函數的圖象交點個數，得到結論．

解：（1），①，即，②

由①②聯立解得：．

是二次函數，且，可設，

由，解得．

，．

（2）設，，

依題意知：當時，

，在上單調遞增，

，解得：

實數的取值范圍為．

（3）設，由（2）知，的圖象如圖所示：

設，則

當，即時，，，有兩個 解，有3個解；

當，即時，且，有3個解；

當，即時，，有2個解；

當，即時，，有1個解．

綜上所述：

當時，方程有5個解；

當時，方程有3個解．