Question

設函數f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1，（a∈R）
（I）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當x∈[0，

π

3

]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)+a2-a，由此求得最小正周期、以及函數的單調增區間．
（2）當 x∈[0

π

3

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

 

5π

6

]，由此可得函數f（x）=2sin(2x+

π

6

)+a2-a的最大值．

解答：解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a2-a-1=2sin(2x+

π

6

)+a2-a
∴函數f（x）的最小正周期

2π

2

=π．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以函數的單調遞增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）當 x∈[0，

π

3

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴當 2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

，f（x）取得最大值是a²-a+2．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦函數的單調性、定義域、值域，屬于中檔題．