Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=

3

x，兩條準(zhǔn)線間的距離為1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M，N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且其一條漸近線方程為y=

3

x，兩條準(zhǔn)線間的距離為1，可得方程組：

b a = 3 2a2 c =1 a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3，代入可得答案；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P（x_P，y_P），結(jié)合題意，又由M在雙曲線上，可得x02-

y02

3

=1，將其坐標(biāo)代入k_PM•k_PN中，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，
有：

b a = 3 2a2 c =1 a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3．
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得N（-x₀，-y₀）．
設(shè)P（x_P，y_P），
則kPM•kPN=

yP-y0

xP-x0

•

yP+y0

xP+x0

=

yP2-y02

xP2-x02

，
又x02-

y02

3

=1，
∴y₀²=3x₀²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴kPM•kPN=

3xP2-3-3x02+3

xP2-x02

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與直線相交的性質(zhì)，此類(lèi)題目一般計(jì)算量較大，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，其次要盡可能的簡(jiǎn)化運(yùn)算，以降低運(yùn)算量．