Question

探究f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應的x的值，類表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列的問題：
（1）若x₁x₂=1，則f（x₁）

 

f（x₂）（請 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函數f(x)=x+

1

x

，(x＞0)在區間（0，1）上單調遞減，則在區間

 

上單調遞增．
（2）當x=

 

時，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值為

 

．
（3）證明函數f(x)=x+

1

x

在區間（1，+∞）上為單調增函數．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及x₁x₂=1，計算f（x₁）與f（x₂），得出結論；觀察表中y值隨x值變化的特點，得出結論；
（2）由表中y值隨x值變化的特點，得出x=1時，f（x）的最小值為2；
（3）用單調性定義證明函數f（x）在區間（1，+∞）上的增減性．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

1

x

，當x₁x₂=1時，x₁=

1

x2

，∴f（x₁）=x₁+

1

x1

=

1

x2

+x₂=f（x₂），∴應填：=；
觀察表中y值隨x值變化的特點，當0＜x＜1時，y隨x的增大而減小，當x＞1時，y隨x的增大而增大，∴應填：（1，+∞）；
  （2）由表中y值隨x值變化的特點，知當x=1時，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值為2；∴應填：1，2；
（3）設x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）；
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了根據函數值表判定函數的單調性與最值問題，也考查了利用函數單調性定義證明單調性問題，是基礎題．