Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4

2

，

π

4

)，曲線C的參數(shù)方程為

x=1+ 2 cosα y= 2 sinα

（α為參數(shù)）．
（I）求直線OM的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把點(diǎn)M的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出直線OM的方程；
（Ⅱ）把曲線C的參數(shù)方程化為化為普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值．

解答：解：（Ⅰ）由點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4

2

 ，  

π

4

)，得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)x=4

2

cos

π

4

=4，y=4

2

sin

π

4

=4，即M（4，4）．
∴直線OM的直角坐標(biāo)方程為y=x．
（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程

x=1+ 2 cosα ，   y= 2 sinα

（α為參數(shù)），消去參數(shù)α得普通方程為：（x-1）²+y²=2．
∴圓心為A（1，0），半徑r=

2

，
由于點(diǎn)M在曲線C外，
故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為|MA|-r=

32+42

-

2

=5-

2

．

點(diǎn)評：充分利用極坐標(biāo)與普通方程的互化公式及點(diǎn)M到曲線（圓）C上的點(diǎn)的距離的最小值為|MA|-r是解題的關(guān)鍵．