Question

【題目】已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)都大于1，前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足an2+3an=6Sn﹣2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）求使得Tn＜ 對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an2+3an=6Sn﹣2，即6Sn=an2+3an+2，

當(dāng)n≥2時(shí)，6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2，

兩式相減得：6an=an2﹣an﹣12+3an﹣3an﹣1，整理得：an2﹣an﹣12=3an+3an﹣1，

即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=3（an+an﹣1），

∵數(shù)列{an}中各項(xiàng)都大于1，

∴an+an﹣1≠0，

∴an﹣an﹣1=3，

當(dāng)n=1時(shí)，a12+3a1=6S1﹣2．解得：a1=2，

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

∴an=2+3（n﹣1）=3n﹣1，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n﹣1

（2）解：bn= = = （ ﹣ ），

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=b1+b2+b3+…+bn，

= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

= （ ﹣ ），

= ，

Tn=

（3）解：Tn＜ 對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m，

Tn= （ ﹣ ）＜ × = ，

即 ≥ ，即m≥6

∴所有n∈N*對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m=6

【解析】【（1）由6Sn=an2+3an+2，當(dāng)n≥2時(shí)，6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2，an2﹣an﹣12=3an+3an﹣1 ， 即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=3（an+an﹣1），由an+an﹣1≠0，an﹣an﹣1=3，當(dāng)n=1時(shí)，a1=2，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）bn= = = （ ﹣ ），利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）由題意可得Tn= （ ﹣ ）＜ × = ，即 ≥ ，即可求得對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．