已知
.
（1）求函數
的最大值；
（2）設
，
，且
，證明：
.
（1）0；（2）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，同時考查分析問題解決問題的綜合解題能力和計算能力.第一問，對求導，由于
單調遞增，
單調遞減，判斷出函數的單調性，求出函數的最大值；第二問，根據第一問的結論將定義域分成2部分，當
時，函數為單調遞減，所以
，所以
一定小于1，當
時，只需證明
即可，構造新函數
，對求導，判斷的單調性，求出的最小值為0，所以
，所以
，即.
試題解析：（Ⅰ）
．
當
時，
，單調遞增；
當
時，
，單調遞減．
所以的最大值為
． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，
，
． 7分
當時，等價于設．
設
，則
．
當
時，
，
，則
，
從而當時，
，在
單調遞減．
當時，
，即．
綜上，總有． 12分
考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.利用導數求函數的最值.
新課標同步訓練系列答案
一線名師口算應用題天天練一本全系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中
，
是自然對數的底數.
（1）求函數
的零點；
（2）若對任意
均有兩個極值點，一個在區間（1，4）內，另一個在區間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知
，且函數
在R上是單調函數，探究函數
的單調性.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f（x）＝lnx－a2x2＋ax（a
R）.
（l）當a＝1時，證明：函數f（x）只有一個零點；
（2）若函數f(x)在區間（1，十
）上是減函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
, 
.
（Ⅰ）當
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）當
時，求函數
的單調區間；
（Ⅲ）當
時，函數
在
上的最大值為
，若存在
，使得
成立，求實數b的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)．
(1)若函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線的傾斜角為
，求f(x)在[－1,1]上的最小值；
(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范圍．
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，且
是函數
的一個極小值點.
的值；
上的最大值和最小值.
。
，求
在
處的切線方程；
的取值范圍。
．
的單調區間；
上的最值．
的圖象經過點
，且在
處的切線方程是
的解析式；（2）求
的單調遞增區間