Question

【題目】圖①中△ABC 為直角三角形D、E 分別為 AB、AC 的中點，將△ADE 沿 DE 折起使平面 ADE⊥BCED，連接 AB，AC，BE如圖②所示.

（1）在線段AC上找一點P，使EP∥平面ABD，并求出異面直線AB、EP所成的角；

（2）在平面ABD內找一點Q，使PQ⊥平面ABE，并求三棱錐P-ABE的體積.

Answer 1

【答案】（1）點P為AC的中點，（2）Q為DF的中點，

【解析】

（1）分別取 AC、AB 的中點 P、F，依次連 EP、PF、FD，先證四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定即可得解；由等腰三角形的性質可得，即可得，即可得解；

（2）過P作并延長DF于Q，先證明平面ABE，再通過平面幾何知識求證即可得解；求出和PO長度即可求得體積.

（1）分別取 AC、AB 的中點 P、F，依次連 EP、PF、FD，

則且，

D、E 分別為 AB、AC 的中點，

，，，即四邊形為平行四邊形，

又平面，平面，平面，

即所求的點P為AC的中點，

，，

，，

故異面直線 AB、EP 所成的夾角為

（2）連結EF，因為，，平面ABD，

平面ABD，，

又，，平面DEPF，

又平面ABE，

平面平面DEPF，且平面平面，

在平面DEPF中，過P作并延長DF于Q，則平面ABE，

因為四邊形DEPF是矩形，且PF=DE=1，，

當時，，，

知Q為DF的中點，

在中， ，，,，

又，

所以.