Question

【題目】已知橢圓的實軸長為4，焦距為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線l經過點且與橢圓C交于不同的兩點M，N（異于橢圓的左頂點），設點Q是x軸上的一個動點．直線QM，QN的斜率分別為，，試問：是否存在點Q，使得為定值？若存在．求出點Q的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在x軸上存在點，使得為定值．

【解析】

（1）根據實軸長為4，焦距為直接代入即可

（2）當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設直線l的方程為，把它和橢圓方程聯立，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，代入到中，令對應項系數成比例即可.

解：（1）設橢圓C的半焦距為c．

因為橢圓C的長軸長為4，焦距為，

所以，

解得．則．

故橢圓C的標準方程為

故答案為：．

（2）假設存在滿足條件的點，

當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意；所以直線l的斜率k存在，設直線l的方程為．

聯立，

得，．

設點，，

則，

，

要使為定值．則需滿足，

解得．

此時．

所以在x軸上存在點，使得為定值