Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線⊥x軸于點(diǎn)C， ，,動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)D的距離的2倍 

（I）求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)K為點(diǎn)的軌跡與x軸正半軸的交點(diǎn),直線交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)（與點(diǎn)K均不重合）,且滿足  求直線EF在X軸上的截距；

（Ⅲ）在（II）的條件下，動(dòng)點(diǎn)滿足,求直線的斜率的取值范圍 

Answer 1

（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：；（Ⅱ）直線EF在X軸上的截距為    ；（Ⅲ）。

解析:

（I）依題意知,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為其相應(yīng)準(zhǔn)線,

離心率為的橢圓

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,

又，，∴點(diǎn)在x軸上,且,則3，

解之得：,     

∴坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱中心 

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：              

（II）設(shè),設(shè)直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得

                     

, 

    

，K（2，0）,,

,

 

解得: (舍)      ∴ 直線EF在X軸上的截距為    

（Ⅲ）設(shè),由知, 

直線的斜率為             

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),,

時(shí)取“=”）或時(shí)取“=”），

                                 

綜上所述