Question

（本小題滿分15分） 已知拋物線C的頂點在原點， 焦點為F(0，1).
（1） 求拋物線C的方程；
（2）在拋物線C上是否存在點P， 使得過點P
的直線交C于另一點Q，滿足PF⊥QF， 且
PQ與C在點P處的切線垂直.若存在，求出
點P的坐標； 若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) 解: 設拋物線C的方程是x² = ay,高則,       即a =" 4" .
故所求拋物線C的方程為x² = 4y .            …………………(5分)
(2) 解:設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) , 則拋物線C在點P處的切線方程是： ,
直線PQ的方程是： .
將上式代入拋物線C的方程, 得：,
故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .
而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1＝－2y₁－－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)＝(y₁＋1)²－＝＝0,
故 y₁＝4, 此時, 點P的坐標是(±4,4) . 經檢驗, 符合題意. 
所以, 滿足條件的點P存在, 其坐標為P(±4,4). ………………(15分)

略