Question

【題目】如圖，在棱長為ɑ 的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB．CD．CC1的中點．

（1）求直線 A1C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求證：平面A B1D1∥平面EFG．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A1C∩平面ABCD=C，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD

∴AC為A1C在平面ABCD的射影

∴∠A1CA為A1C與平面ABCD所成角 正方體的棱長為a∴AC= a，A1C= a

（2）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中

連接BD，則DD1∥BB1，DD1=BB1，

∴D1DBB1為平行四邊形

∴D1B1∥DB

∵E，F分別為BC，CD的中點

∴EF∥BD∴EF∥D1B1

∵EF平面GEF，D1B1平面GEF

∴D1B1∥平面GEF

同理AB1∥平面GEF

∵D1B1∩AB1=B1

∴平面AB1D1∥平面EFG．

【解析】（1）欲求直線 A1C與平面ABCD所成角的正弦的值，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由于AC為A1C在平面ABCD的射影，故∠A1CA為A1C與平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；（2）欲證平面AB1D1∥平面EFG，根據面面平行的判定定理可知，只須證明線面平行即可．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中連接BD，則DD1∥BB1 ， DD1=BB1 ， 利用直線間的平行關系可證得：D1B1∥平面GEF及AB1∥平面GEF，從而問題解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面平行的判定的相關知識，掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．