【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若
，證明：
.
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出函數
的定義域和導數，對實數
分
和
兩種情況討論，分析導數在區間
上符號的變化，由此可得出函數的單調區間；
（2）證法一：構造函數
，其中
，利用導數分析得知函數
在區間
上為減函數，由
可得出
；
證法二：分和
時，在時，由函數在上的單調性可得出，在時，由（1）中的結論，結合
可證明出，綜合得出結論.
（1）函數的定義域為，
，
若時，則
，此時在單調遞減，
若時，則由
得
，
當
時，，函數在
單調遞減，
當
時，
，函數在
單調遞增，
綜上所述，當時，在單調遞減；若時，在單調遞減，在單調遞增；
（2）證法一：設
，
，
，
所以在上為減函數，又
，所以
，
即
，即；
證法二：由（1）得，當時，在單調遞減，
因
，所以，
當時，在單調遞減.
因為
，所以
，
又因為，所以，所以.
綜上所述，.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某保險公司的某險種的基本保費為
（單位：元），繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
保費（元） |
|
|
|
|
|
隨機調查了該險種的400名續保人在一年內的出險情況，得到下表：
出險次數 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
頻數 | 280 | 80 | 24 | 12 | 4 |
該保險公司這種保險的賠付規定如下：
出險序次 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次及以上 |
賠付金額（元） |
|
|
|
| 0 |
將所抽樣本的頻率視為概率.
（Ⅰ）求本年度續保人保費的平均值的估計值；
（Ⅱ）按保險合同規定，若續保人在本年度內出險3次，則可獲得賠付
元；若續保人在本年度內出險6次，則可獲得賠付
元；依此類推，求本年度續保人所獲賠付金額的平均值的估計值；
（Ⅲ）續保人原定約了保險公司的銷售人員在上午10:30~11:30之間上門簽合同，因為續保人臨時有事，外出的時間在上午10:45~11:05之間，請問續保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面內，將一個圖形繞一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉，如圖，小盧利用圖形的旋轉設計某次活動的徽標，他將邊長為a的正三角形ABC 繞其中心O逆時針旋轉到三角形A1B1C1，且
.順次連結A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六邊形徽標AA1BB1CC1 .
(1)當＝
時，求六邊形徽標的面積；
(2)求六邊形徽標的周長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是圓
的直徑，點
是圓上異于
，
的點，直線
平面
，
，
分別是
，
的中點.
（Ⅰ）記平面
與平面的交線為
，試判斷直線與平面
的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設
，求二面角
大小的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為檢查某工廠所生產的8萬臺電風扇的質量，抽查了其中20臺的無故障連續使用時限（單位：小時） 如下：
248 256 232 243 188 268 278 266 289 312
274 296 288 302 295 228 287 217 329 283
分組 | 頻數 | 頻率 | 頻率/組距 |
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
總計 | 0.05 |
（1）完成頻率分布表，并作出頻率分布直方圖；
（2）估計8萬臺電風扇中有多少臺無故障連續使用時限不低于280小時；
（3）用組中值（同一組中的數據在該組區間的中點值）估計樣本的平均無故障連續使用時限.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題：①任意兩條直線都可以確定一個平面；②若兩個平面有3個不同的公共點，則這兩個平面重合；③直線a，b，c，若a與b共面，b與c共面，則a與c共面；④若直線l上有一點在平面α外，則l在平面α外.其中錯誤命題的個數是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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