Question

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米， 米，記∠BHE=θ．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數，并寫出定義域；
（2）若 ，求此時管道的長度L；
（3）當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ，

．

由于 ， ，

所以 ，

所以 ．

所以 ，

（2）解：當 時，

，

（米）

（3）解： ，

設sinθ+cosθ=t，

則 ，

所以 ．

由于 ，

所以 ．

由于 在 上單調遞減，

所以當 即 或 時，

L取得最大值 米．

答：當 或 時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為 米

【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點，易得 ， ， ，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數．（2）若 ，結合（1）中所得的函數解析式，代入易得管道的長度L的值．（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數解析式，結合三角函數的性質，易得結論．