Question

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.
(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)設．
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長；
(ⅱ) 在線段上是否存在一個點，使得點到點的距離都相等？說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ，不存在點.

試題分析：(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐標系，設平面的法向量為，利用兩向量垂直，，列表達式，求出法向量，再由直線與平面所成的角為，得出法向量中的參量；先設存在點，找出的坐標，利用距離相等，列出表達式，看方程是否有根來判斷是否存在點.
試題解析：解法一：
(Ⅰ)證明：因為平面，平面，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以平面⊥平面.                 3分
(Ⅱ)以為坐標原點，建立空間直角坐標系 (如圖)．

在平面內，作交于點，則.
在中，，
.
設，則，．
由得，
所以，，，
，．                 5分
(ⅰ)設平面的法向量為．
由，，得
取，得平面的一個法向量．
又，故由直線與平面所成的角為得
，即.
解得或 (舍去，因為)，所以.          7分
(ⅱ)假設在線段上存在一個點，使得點到點的距離都相等．
設 (其中)．
則，，
．
由，得，
即；①
由，得. ②
由①、②消去，化簡得. ③
由于方程③沒有實數根，所以在線段上不存在一個點，使得點到點的距離都相等．
從而，在線段上不存在一個點，
使得點到點的距離都相等．              12分
解法二：
(Ⅰ)同解法一：
(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標原點，建立空間直角坐標系 (如圖)．

在平面內，作交于點，
則，
在中，
，
.
設，則，．
由得.
所以，，，
，．                 5分
設平面的法向量為．
由，，得
取，得平面的一個法向量．
又，故由直線與平面所成的角為得
，即.
解得或 (舍去，因為)，所以.          7分
(ⅱ)假設在線段上存在一個點，使得點到點的距離都相等．

由 ，得，
從而，即，
所以.
設，則，.
在中，
，這與矛盾．
所以在線段上不存在一個點，使得點到的距離都相等．
從而，在線段上不存在一個點，使得點到點的距離都相等