Question

【題目】【2017屆廣東省深圳市高三下學(xué)期第一次調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）】已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） 證明見(jiàn)解析；（3）一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，，得證；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時(shí)，且，故恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

從而得到的增減性，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而在兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，再證明極大值，所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，只能有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，

，

①當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2） ，設(shè)，則，

易知當(dāng)時(shí)，，

；

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，是先減再增的函數(shù)，

其最小值為，

而此時(shí)，且，故恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

，

∴在兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，且，

由知，

∴，

∵，∴，但當(dāng)時(shí)，，則，不合題意，所以，故函數(shù)的圖象與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．

∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．