Question

【題目】如圖是一個半徑為2千米，圓心角為的扇形游覽區的平面示意圖是半徑上一點，是圓弧上一點，且.現在線段，線段及圓弧三段所示位置設立廣告位，經測算廣告位出租收入是：線段處每千米為元，線段及圓弧處每千米均為元．設弧度，廣告位出租的總收入為元．

(1)求關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；

(2)試問：為何值時，廣告位出租的總收入最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，廣告位出租的總收入最大，最大值為元.

【解析】

（1）根據題意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧長DB，求出函數y的解析式，寫出x的取值范圍；

（2）求函數y的導數，利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最值和對應x的值．

(1)因為，所以.

在中，，，.

由正弦定理，得，

得，.

又圓弧長為，

所以

.

(2)記，

則，

令，得.

當變化時，，的變化如下表：

所以在處取得極大值，這個極大值就是最大值，即.

故當時，廣告位出租的總收入最大，最大值為元．