Question

【題目】已知函數f（x）= ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M（x0 ， y0），使得：①x0= ；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值和諧切線”．當a=2時，函數f（x）是否存在“中值和諧切線”，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）函數f（x）的定義域是（0，+∞），

由已知得，f′（x）= ，

（i）當a＞0時，令f′（x）＞0，解得x＞1； 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．

所以函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增；

（ii）當a＜0時，

①當﹣ ＜1時，即a＜﹣1時，令f′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜1；

∴函數f（x）在（﹣ ，1）上單調遞增；

②當﹣ =1時，即a=﹣1時，顯然，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，無增區間；

③當﹣ ＞1時，即﹣1＜a＜0時，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣

∴函數f（x）在（1，﹣ ）上單調遞增；

綜上所述，（i）當a＞0時，函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增；

（ii）當a＜﹣1時，函數f（x）在（﹣ ，1）上單調遞增；

（iii）當a=﹣1時，函數f（x）無單調遞增區間；

（iv）當﹣1＜a＜0時，函數f（x）在（1，﹣ ）上單調遞增；

（2）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．

設A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x1＜x2，

則y1= ﹣x1﹣lnx1，y2= ﹣x2﹣lnx2．

kAB= =x2+x1﹣1﹣ ，

曲線在點M（x0，y0）處的切線斜率：

k=f′（x0）=f′（ ）=x1+x2﹣1﹣ ，

x2+x1﹣1﹣ =x1+x2﹣1﹣ ，

∴ = ，即ln ﹣ =0，

令t= ＞1

設h（t）=lnt﹣ ，則h′（t）= ＞0，

∴h（t）在（0，+∞）遞增，

∴h（t）＞h（1）=0，

故h（t）=0在（0，+∞）無解，假設不成立，

綜上所述，假設不成立，

所以，函數f（x）不存在“中值相依切線”

【解析】（1）根據對數函數的定義求得函數的定義域，再根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，然后分別令導函數大于0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區間；（2）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．