Question

（2008•湖北模擬）如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B．過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足2

OD

=

OF

+

OP

(O為原點)，且

AB

=λ

AD

(λ≠0)．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B作直線l分別交雙曲線的左支、右支于M、N兩點，且△OMN的面積S_△OMN=2

6

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求雙曲線的離心率，只需找到含a，c的齊次式，由已知，易求P點坐標，根據2

OD

=

OF

+

OP

(O為原點)，可判斷D點為FP的中點，再根據

AB

=λ

AD

(λ≠0)可找到a，b的關系，進而轉化為含a，c的等式，即可求出離心率e的值．
（2）當a=2時，根據（1）中所求離心率，可求出b的值，進而求出雙曲線方程，根據直線MN過B點，設出直線MN的方程，與雙曲線方程聯立，解出x₁+x₂，x₁x₂，△OMN被y軸分成兩個三角形，分別求出面積，再相加，即為△OMN的面積，讓其等于題目中所給的值，可得到關于直線l的斜率k的方程，解出k即可．

解答：解：（1）∵B（0，-b）A(

a2

c

，0)，易求得P(c，

b2

a

)
∵2

OD

=

OF

+

OP

，即D為線段FP的中點．，
∴D(c，

b2

2a

)
又

AB

=λ

AD

，即A、B、D共線．
而  

AB

=(-

a2

c

，-b)，

AD

=(c-

a2

c

，

b2

2a

)，
∴(c-

a2

c

)•(-b)=(-

a2

c

)(

b2

2a

)，得a=2b，
∴e=

c

a

=

1+( b a )2

=

1+ 1 4

=

5

2

（2）∵a=2，而e=

5

2

，∴b²=1，
故雙曲線的方程為

x2

4

-y2=1…①
∴B、的坐標為（0，-1）

設l的方程為y=kx-1…②
②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得：

1-4k2≠0 △=64k2+32(1-4k2)＞0 x1•x2= 8 4k2-1 ＜0

得：k2＜

1

4

設M、N的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）
則x1+x2=

8k

4k2-1

而S△OMN=

1

2

|OB|(|x1|+|x2|)=

1

2

|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1

2

( 8k 4k2-1 )2- 32 4k2-1

=

2 2 • 1-2k2

1-4k2

=2

6

整理得24k⁴-11k²+1=0，解得：k2=

1

8

或k2=

1

3

（舍去）
∴所求l的方程為y=±

2

4

x-1

點評：本題主要考查了雙曲線離心率的求法，以及直線與 雙曲線位置關系的應用．