Question

【題目】已知二次函數滿足，對任意有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若，對于實數，記函數在區間上的最小值為，且恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得出，即，可得出，由此可得出不等式恒成立，且當時等號成立，可得出，可解出實數的值，可得出的值，由此可得出函數的解析式；

（2）作出函數在上的圖象，然后分、、三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，得出的表達式，然后利用參變量分離法求出滿足不等式恒成立的實數的取值范圍.

（1）對任意的有恒成立，當時，則，

所以，，可得，，

所以不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，當時等號成立，

，解得，，因此，；

（2）由題意可得.

作出函數在區間上的圖象如下圖所示：

當時，.

當時，，令，可得，得，

此時.

由圖象可知，當時，函數在區間上的最小值為，

由，得，可得，

，則，

由于雙勾函數在區間上單調遞增，當時，，

則，此時，；

當時，函數在區間上的最小值為，

由，得，即對任意的恒成立，

則，解得；

當時，函數在區間上單調遞增，

函數在區間上的最小值為，

由，可得，即.

函數在區間上單調遞增，，，

此時，.

綜上所述，實數的取值范圍是.