Question

（本小題滿分14分）已知函數．
（Ⅰ）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；
（Ⅲ）試證明：.

Answer 1

(1) 在區間上是減函數
(2)
(3)在二問的基礎上，進行放縮法來證明不等式。

解析試題分析：解：（Ⅰ）由題…………2分
故在區間上是減函數;…………3分
（Ⅱ）當時，恒成立，即在上恒成立，取，則，…………………5分
再取則
故在上單調遞增，
而，…………………7分
故在上存在唯一實數根，
故時，時，
故故…………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，………………10分
又

……………………12分

即：………………14分
考點：本試題主要是考查了導數在函數中的應用。
點評：利用導數的正負來判定函數的單調性，并求解函數的最值的應用個。對于含有參數的不等式恒成立問題，一般采用分離變量的思想，借助于函數的最值來得參數的范圍。對于函數與不等式的結合問題，一般運用放縮法的思想來求證，屬于難度試題。