Question

【題目】在數(shù)列中，.從數(shù)列中選出項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項(xiàng)子列.例如數(shù)列、、、為的一個(gè)項(xiàng)子列.

（1）試寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，并使其為等差數(shù)列；

（2）如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，且為等差數(shù)列，證明：的公差滿足；

（3）如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列，且為等比數(shù)列，證明：

.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一.如項(xiàng)子列，，；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）根據(jù)題中的定義寫(xiě)出一個(gè)項(xiàng)子列即可；（2）對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論，結(jié)合條件“為等差數(shù)列”，利用公差推出矛盾，從而得到，再由結(jié)合證明；

（3）注意到數(shù)列各項(xiàng)均為有理數(shù)，從而得到數(shù)列的公比為正有理數(shù)，從而存在、使得，并對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論，結(jié)合等比數(shù)列求和公式進(jìn)行證明.

試題解析：（1）答案不唯一.如項(xiàng)子列、、；

（2）由題意，知，

所以.

若，

由為的一個(gè)項(xiàng)子列，得，

所以.

因?yàn)?/span>，，

所以，即.

這與矛盾.

所以.

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，即，

綜上，得；

（3）由題意，設(shè)的公比為，

則.

因?yàn)?/span>為的一個(gè)項(xiàng)子列，

所以為正有理數(shù)，且，.

設(shè)，且、互質(zhì)，）.

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以

，

，

所以.

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>是中的項(xiàng)，且、互質(zhì)，

所以，

所以

.

因?yàn)?/span>，、，

所以.

綜上，.