Question

 

19．((本小題滿分12分)

已知動點P與雙曲線的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為定值2a(a＞)，且cos∠F₁PF₂的最小值為.

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)若已知D(0，3)，M、N在動點P的軌跡上，且＝λ，求實數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

，λ的取值范圍是[，5]

解析:

解(1)∵且｜PF₁｜＋｜PF₂｜＝2a＞｜F₁F₂｜ (a＞)

∴P的軌跡為以F₁、F₂為焦點的橢圓E，可設(shè)E：　(其中b²＝a²－5)

在△PF₁F₂中，由余弦定理得

又

∴當(dāng)且僅當(dāng)| PF₁ |＝| PF₂ |時，| PF₁ |·| PF₂ |取最大值，此時cos∠F₁PF₂取最小值

令＝a²＝9　∵c＝ ∴b²＝4故所求P的軌跡方程為

(2)設(shè)N(s，t)，M(x，y)，則由，可得(x，y－3)＝λ(s，t－3)

∴x＝λs，y＝3＋λ(t－3)

而M、N在動點P的軌跡上，故且

消去S得解得

又| t |≤2　　∴，解得，　故λ的取值范圍是[，5]