Question

【題目】已知雙曲線以為焦點，且過點

（1）求雙曲線與其漸近線的方程

（2）若斜率為1的直線與雙曲線相交于兩點，且（為坐標原點），求直線的方程

Answer 1

【答案】（1）雙曲線C的方程為； 漸近線方程為．（2）l方程為．

【解析】

（1）設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為y＝x+t，將其代入方程，通過△＞0，求出t的范圍，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理，通過x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直線方程．

（1）設(shè)雙曲線C的方程為，半焦距為c，

則c＝2，，a＝1，

所以b2＝c2﹣a2＝3，

故雙曲線C的方程為．　　　　　　　　　

雙曲線C的漸近線方程為．　　　　　　　

（2）設(shè)直線l的方程為y＝x+t，將其代入方程，

可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*）

△＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1，x2是方程（*）的兩個根，所以，

又由，可知x1x2+y1y2＝0，

即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得，

故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得，

所以直線l方程為．