Question

【題目】在平面直角坐標系中,長度為2的線段EF的兩端點E、F分別在兩坐標軸上運動.

(1)求線段EF的中點G的軌跡C的方程；

(2)設軌跡C與軸交于兩點,P是軌跡C上異于的任意一點,直線交直線于M點,直線交直線于N點,求證:以MN為直徑的圓C總過定點,并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）;（2）或.

【解析】

（1）設,把兩點坐標用表示,結合兩點間的距離公式,即可求得G的軌跡C的方程;

（2）由（1）求出兩點坐標,設,分別求出直線、直線的方程,進而表示出M、N兩點坐標,求出以MN為直徑的圓C的方程,根據對稱性,定點在軸上,求出圓C與軸的交點,即為所求.

（1）設,由中點坐標公式得,

,整理得,,

線段EF的中點G的軌跡C的方程為;

（2）由（1）得,,設,

,直線方程為:，

令,得,,同理可求，

中點坐標為,

以MN為直徑的圓C的方程為

令，得

,圓C總過定點,定點坐標為或.