Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導，，令，顯然只需研究與0的大小關系，即可得到函數的單調性，分類討論，即可求出答案；

（2）由，可得，結合（1）可知，令，可得，再結合的關系式，可得，從而得到，構造函數，研究其單調性，可知時，，又因為，從而可知，即.

（1）由題意，，

令，，

①當，且，即時，，所以在恒成立，故在上單調遞減；

②當時，，由得，

當時，，；

當時，，.

故在和單調遞減，

在單調遞增；

③當時，由得，

當時，；當時，.

故在單調遞減，在單調遞增；

④當時，，由得或（不合題意，舍去）.

當時，，；當時，，.

故在單調遞減，在單調遞增.

（2）因為，所以.

由（1）得，故只需，即可滿足.

令，則，整理得，即，

所以，

設，所以，

當時，；當時，.

故在單調遞減，在單調遞增.

又，所以當時，；當時，，

又，因為，所以，，所以，

所以，即，故，又

所以的取值范圍是.