Question

設二次函數f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的兩個實根的平方和為10，f(x)的圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：要求的函數為二次函數，一般可設其為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后根據已知條件求出系數a、b、c，從而求得該二次函數．由于本題條件f(2＋x)＝f(2－x)隱含著函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故可設函數f(x)＝a(x－2)2＋k． 　　解：∵f(2＋x)＝f(2－x)， 　　∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱． 　　于是，設f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 　　則由f(0)＝3，可得k＝3－4a， 　　∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3． 　　∵ax2－4ax＋3＝0的兩實根的平方和為10， 　　∴10＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1． 　　∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3．

提示：

解題的過程就是運用已知條件的過程，已知條件要用得能揭露題目的本質(越徹底越好)．如果設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，運用條件f(2＋x)＝f(2－x)也能求得b＝－4a，但不如采用上述對稱法對問題揭露得徹底． 　　本題解法為待定系數法，它適用于已知函數的思路解析式的類型(例如一次函數、二次函數等)及函數的某些特征求該函數的問題，關鍵在于快捷地求出待定常數．