Question

設f（x）是二次函數，且滿足f（1-x）=f（x+1），f（1）=-3，f（0）=1，
（1）求f（x）；
（2）作出|f（x）|的圖象．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=a•x²+bx+c （a≠0），由題意可得

- b 2a =1 a+b+c=-3 c=1

，解方程組求得a、b、c的值，從而得到f（x）的解析式．
（2）由（1）可得|f（x）|=

4•(x-1)2-3  ，  x＜1- 3 2  或x＞1+ 3 2 4-4•(x-1)2 ，1- 3 2 ＜ x＜1+ 3 2

，由此畫出|f（x）|的圖象．

解答：解：（1）設f（x）=a•x²+bx+c （a≠0），則由f（1-x）=f（x+1）可得函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，再由f（1）=-3，f（0）=1可得

- b 2a =1 a+b+c=-3 c=1

．
解得

a=4 b=-8 c=1

，故 f（x）=4x²-8x+1．
（2）由（1）可得 f（x）=4x²-8x+1=4•（x-1）²-3，令f（x）=0可得 x=1±

3

2

，
故有|f（x）|=

4•(x-1)2-3  ，  x＜1- 3 2  或x＞1+ 3 2 4-4•(x-1)2 ，1- 3 2 ＜ x＜1+ 3 2

，如圖所示：
 

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，用待定系數法求函數的解析式，屬于基礎題．