Question

如圖所示，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=2，另一個側面ABC是正三角形．

(1)求證：AD⊥BC；

(2)求二面角B-AC—D的大小；

(3)(理)在線段AC上是否存在一點E，使ED與平面BCD成30°角?若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．

第21題圖

Answer 1

答案：(1)解法一：如圖所示，取BC中點O，連接AO、DO，則有AO⊥BC，DO⊥BC，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD．

解法二：過A作AH垂直于平面BCD于H，連接DH，

∵AB⊥BD，∴HB⊥BD．∵AD=，BD=2，

∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，則四邊形BHCE為正方形，則DH⊥BC，

∴BC⊥AD．

(2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN為所求二面角．

第21題圖

∵AB=AC=BC=，

∴M是AC的中點，且MN∥CD．

則BM=，MN=AD=，

由余弦定理得cos∠BMN=

∴∠BMN=arccos．

(3)設E為所求的點，作EF⊥CH于F，連接FD，則EF∥AH．∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是直線ED與平面BCD所成的角，則∠EDF=30°．

設EF=x，易得AH=HC=2，

則CF=x，FD=,

∴tan∠EDF=,

解得x=，則CD=2，故在線段AC上存在E點，且CE=2時，ED與平面BCD成30°角．