Question

19、如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．
（1）證明：平面PAB⊥平面PCM；
（2）證明：線段PC的中點為球O的球心．

Answer 1

分析：（1）要證明平面PAB⊥平面PCM，只需證明平面PCM內的直線CM，垂直平面PAB內的兩條相交直線AB、PA即可；
（2）取PC的中點N，連接MN、AN．要證明線段PC的中點為球O的球心，只需說明PN=NC=AN=MN，即可證明點N是球O的球心，即線段PC的中點為球O的球心．

解答：解：（1）證明：∵AC=BC，M為AB的中點，∴CM⊥AM．
∵PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PA⊥CM．
∵AB∩PA=A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴CM⊥平面PAB、
∵CM?平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM．
（2）證明：由（1）知CM⊥平面PAB、
∵PM?平面PAB，
∴CM⊥PM．
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC、如圖，
取PC的中點N，連接MN、AN．在Rt△PAC中，點N為斜邊PC的中點，
∴AN=PN=NC、在Rt△PCM中，點N為斜邊PC的中點，
∴MN=PN=NC、
∴PN=NC=AN=MN．
∴點N是球O的球心，即線段PC的中點為球O的球心．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，球的性質，考查學生發現問題解決問題的能力，邏輯思維能力，是中檔題．