Question

【題目】定義R在上的函數為奇函數，并且其圖象關于x＝1對稱；當x∈（0，1]時，f（x）＝9x﹣3．若數列{an}滿足an＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n≤50時，當Sn＝a1+a2+…+an取的最大值時，n＝_____．

Answer 1

【答案】26

【解析】

先由函數的奇偶性和對稱性求得函數的周期,再根據函數的值域及對數運算求得及時的取值范圍,即可求得取得最大值時的值.

因為函數為奇函數,所以,

又因為其圖象關于直線x＝1對稱,

所以,即,

所以,可得

即函數f（x）是周期為4的周期函數，

因為當x∈（0，1]時，f（x）＝9x﹣3，

所以，

因為函數為上的增函數,

所以當時,，當時,,

作出函數在上的圖象如圖所示:

所以當時,，

當時,,，

由周期性可得：x∈（6，）時，f（x）＞0．

x∈（，）時，f（x）＜0．

f（）＝f（）＝0．

因為,

所以6＜log2（64+n）＜log2114＜7．

而當6＜log2（64+n）時,an＞0

即當64＜64+n＜6490.496,an＞0

∴n≤26時，an＞0．

當27≤n≤50時，log2（64+n）＜log2114＜7,此時an＜0，

∴當n＝26時,Sn＝a1+a2+…+an取的最大值．

故答案為: