Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設點M（x0 ， y0）是橢圓C： +y2=1上一點，從原點O向圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作兩條切線分別與橢圓C交于點P，Q．直線OP，OQ的斜率分別記為k1 ， k2
（1）若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；
（2）若r= ，①求證：k1k2=﹣ ；②求OPOQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C的右焦點是（ ，0），x= ，代入 +y2=1，可得y=± ，

∴圓M的方程：（x﹣ ）2+（y ）2= ；

（2）解：因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，

所以直線OP：y=k1x與圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 聯立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣ =0

同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣ =0，

由判別式為0，可得k1，k2是方程（x02﹣ ）k2﹣2x0y0k+y02﹣ =0的兩個不相等的實數根，

∴k1k2= ，

因為點M（x0，y0）在橢圓C上，所以y2=1﹣ ，

所以k1k2= =﹣ ；

（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

因為4k1k2+1=0，所以 +1=0，即y12y22= x12x22，

因為P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，所以y12y22=（1﹣ ）（1﹣ ）= x12x22，

整理得x12+x22=4，

所以y12+y22=1

所以OP2+OQ2=5．

（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=5，

綜上：OP2+OQ2=5

所以OPOQ≤ （OP2+OQ2）=2.5，

所以OPOQ的最大值為2.5．

【解析】（1）橢圓C的右焦點是（ ，0），x= ，代入 +y2=1，可得y=± ，求出圓的圓心，然后求圓M的方程；（2）①因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣ =0的兩個不相等的實數根，利用韋達定理推出k1k2．結合點M（x0，y0）在橢圓C上，證明k1k2=﹣ ．②（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），通過4k1k2+1=0，推出y12y22= x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OPOQ的最大值．