Question

已知關于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）
（1）若不等式的解集為{x|2＜x＜3}，求實數k的值；
（2）若不等式對一切2＜x＜3都成立，求實數k的取值范圍；
（3）若不等式的解集為集合{x|2＜x＜3}的子集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式解集區間的端點就是相應方程的根，所以方程kx²-2x+6k=0的兩根分別為2和3，再利用一元二次方程根與系數的關系，可得實數k的值；
（2）原命題等價于函數y=kx²-2x+6k的最大值小于0，從而得出

f(2)≤0 f(3)≤0

，解之可得實數k的取值范圍是（0，

2

5

]；
（3）原命題題等價于不等式組：△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，先解△≤0，結合k＞0得k≥

6

6

，再對照

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

的解集，可得符合條件的k的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得，2和3是相應方程kx²-2x+6k=0的兩根且k＞0，
      k=

2

5

．…（4分）
（2）令f（x）=kx²-2x+6k，原問題等價于

f(2)≤0 f(3)≤0

解得k≤

2

5

，又k＞0
∴實數k的取值范圍是（0，

2

5

]．…（4分）
（3）對應方程的△=4-24k²，令f（x）=kx²-2x+6k，
則原問題等價于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

由△≤0解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又k＞0，∴k≥

6

6

…（2分）
由

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

解得

2

5

≤k≤

1

2

…（3分）
綜上，符合條件的k的取值范圍是[

2

5

，+∞）…（1分）

點評：本題考查了一元二次方程根與一元二次不等式的關系，屬于中檔題．解題時應該注意求解過程中的分類討論思想與數形結思想的運用．