Question

已知關于x的不等式

k(1-x)

x-2

+1＜0的解集為空集，求實數k的取值或取值范圍．

Answer 1

分析：把原不等式進行整理，得到分子和分母都是關于x的一次式，寫出不等式的等價形式，注意兩個根的大小關系，針對于大小關系分三種情況進行討論，得到結果．

解答：解：原不等式化為

(1-k)x+k-2

x-2

＜0．
（1）若1-k＞0即k＜1時，不等式等價于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＜0．
①若k＜0，不等式的解集為{x|

2-k

1-k

＜x＜2}．
②若k=0，不等式的解集為?
③若0＜k＜1，不等式的解集為{x|2＜x＜

2-k

1-k

}．
（2）若1-k＜0即k＞1時，不等式等價于（x-

2-k

1-k

）（x-2）＞0．
此時恒有2＞

2-k

1-k

，所以不等式解集為{x|x＜

2-k

1-k

，或x＞2}．
（3）若1-k=0即k=1時，不等式的解集為{x|x＞2}．
綜上可知當且僅當k=0時，不等式的解集為空集．

點評：本題考查分式不等式的解法，本題解題的關鍵是這對于不等式進行等價變形，針對于兩個根的大小進行討論，本題是一個易錯題．