Question

【題目】給出下列命題：
（1）設(shè)f（x）與g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）為奇函數(shù)，則g（x）也是奇函數(shù)；
（2）若x1 ， x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函數(shù)f（x）在R上遞增，則f（x）+g（x）在R上也遞增；
（3）已知a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）= ，若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多 ，則實(shí)數(shù)a的取值集合為 ；
（4）存在不同的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè)．則所有正確命題的序號(hào)為 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）、（4）
【解析】解：對(duì)于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，
令x2=﹣x1 ， 則|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，
∴g（x1）+g（﹣x1）=0，
∴g（﹣x1）=﹣g（x1），
∴g（x）是奇函數(shù)，（1）正確；
對(duì)于（2），設(shè)x1＜x2 ，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（x1）＜f（x2），
∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），
∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），
∴h（x1）﹣h（x2）＜0，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函數(shù)，（2）正確；
對(duì)于（3），①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）= 在[0，2]上的最大值為f（1）=a，最小值為f（0）=1或f（2）=a﹣2；
當(dāng)a﹣1= 時(shí)，解得a= ，此時(shí)f（2）= ＞1，滿足題意，
當(dāng)a﹣（a﹣2）=0時(shí)，2=0不滿足題意，∴a= ；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在[0，1]上，f（x）=ax是減函數(shù)；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是減函數(shù)，
∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函數(shù)的最大值為f（0）=1；
而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函數(shù)的最小值為f（2）=﹣2+a，
因此，﹣2+a+ =1，解得a= ∈（0，1）符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{ ， }，（3）錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化為（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）
或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）
①當(dāng)k= 時(shí)，方程（Ⅰ）有兩個(gè)不同的實(shí)根± ，方程（Ⅱ）有兩個(gè)不同的實(shí)根± ，
即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
②當(dāng)k=0時(shí)，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

③當(dāng)k= 時(shí)，方程（Ⅰ）的解為± ，± ，方程（Ⅱ）的解為± ，± ，
即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
④當(dāng)k=﹣2時(shí)，方程化為（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，
解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合題意，舍去）；
所以x2﹣1=±2，
解得x2﹣1=2，
即x=± ，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
所以存在不同的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè)，
命題（4）正確；
綜上，正確的命題是（1）、（2）、（4）．
所以答案是：（1）（2）、（4）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．