Question

（09年崇文區期末理）（14分）

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，ΔABD和ΔBCD均為等邊三角形，

AB =2 ,  AC =．   

（I）求證：平面BCD；                                   

（II）求二面角A-BC- D的大小；                                                        

（III）求O點到平面ACD的距離．                                                      

Answer 1

解析：解法一：

證明：連結OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------1分

,，

       ∴ ．                ------------------------------------------------------2分

在中，     

∴即   -------------------------------------------------------------3分

             

∴平面．  ---------------------------------------------------------------------------4分

       （II）過O作，連結AE，

       ,

∴AE在平面BCD上的射影為OE．

∴．

∴ ．  -----------------------------------------7分

在中，,,，    ------------------8分

       ∴．

       ∴二面角A-BC-D的大小為．   ---------------------------------------------------9分

       （III）解：設點O到平面ACD的距離為

，

 ∴．

在中， ，

             ．

而，

∴．

         ∴點O到平面ACD的距離為．-----------------------------------------------------14分

        解法二：

       （I）同解法一．

       （II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則       -------------------------------------------5分

       ，

∴．  -------------------------------------------------6分

設平面ABC的法向量，

，，

由．----------------------------------------8分

設與夾角為，

則．

 ∴二面角A-BC-D的大小為．  -----------------------------------------9分

       （III）解：設平面ACD的法向量為，又， 

       ．   -----------------------------------11分

設與夾角為，

   則     ----------------------------------------12分

       設O 到平面ACD的距離為h，

∵，

∴O到平面ACD的距離為．  -----------------------------------------------14分