Question

 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題l0分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A.選修4 – 1幾何證明選講

如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E,

∠BAC的平分線與BC交于點D.

求證：ED²= EB·EC.

 

 

 

 

 

B．矩陣與變換

已知矩陣，，求滿足的二階矩陣．

 

 

 

 

 

 

C.選修4 – 4 參數方程與極坐標

若兩條曲線的極坐標方程分別為r = 1與r = 2cos( + ),它們相交于A，B兩點，求線段AB的長.

 

 

 

 

 

 

D.選修4 – 5 不等式證明選講

設a,b,c為正實數,求證:a³ + b³ + c³ + ≥2.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題l0分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A.選修4 – 1幾何證明選講

證明: 因為EA是圓的切線,AC為過切點A的弦,所以

ÐCAE = ÐCBA.

又因為AD是ÐBAC的平分線,所以ÐBAD = ÐCAD

所以ÐDAE = ÐDAC + ÐEAC = ÐBAD + ÐCBA = ÐADE

所以,△EAD是等腰三角形,所以EA = ED. ……………………………………………………6分

又EA² = EC·EB,

所以ED² = EB·EC. ……………………………………………………………………………4分

B．矩陣與變換：

解：由題意得，…………………………………………………5分

，………………………………………10分

C.選修4 – 4 參數方程與極坐標

 若兩條曲線的極坐標方程分別為r = 1與r = 2cos( + ),它們相交于A,B兩點,求線段AB的長.

解 首先將兩曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,得

_x² + y² = 1與_x² + y² – _x + y = 0……………………………………………………6分

解方程組得兩交點坐標(1,0),(–, – )

所以,線段AB的長為=  

即AB = .………………………………………………………………………………10分

D.選修4 – 5 不等式證明選講

設a,b,c為正實數,求證:a³ + b³ + c³ + ≥2.

證明 因為a,b,c為正實數,所以a³ + b³ + c³≥3 = 3abc>0…………………………5分

又3abc + ≥2 = 2.

所以a³ + b³ + c³ + ≥2.…………………………………………………………………10分