Question

已知等差數列的首項為，公差為，等比數列的首項為，公比為，.
（1）求數列與的通項公式；
（2）設第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和.
（注：表示與的最小值.）

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：（1）利用等差數列和等比數列的通項公式分別求出數列與的通項公式；（2）先利用作差法確定與的大小，在比較兩者的大小是，一是利用數學歸納法，方法二是利用二項式定理，確定數列的通項公式（用分段數列的形式來進行表示，然后對的取值進行分類討論，進而求出.
試題解析：（1）由于數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以，
又因為數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此；
2）因為，，，，，，
，，，，，，
易知當時，，
下面證明當時，不等式成立.
方法1：（i）當時，，不等式顯然成立，
（ii）假設當時，不等式成立，即，
則有，
這說明當時，不等式也成立，
綜合（i）（ii）可知，不等式對的所有整數都成立.
所以當時，；
方法2：因為當時，

，
所以當時，，所以，
則，
當時，
，
當時，




.
綜上可知，.