Question

7、已知函數f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列四個命題：
①f（x）必是偶函數；
②當f（0）=f（2）時，f（x）的圖象必關于x=1對稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在區間[a，+∞]上是增函數；
④f（x）有最大值|a²-b|．
其中所有真命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：當a≠0時，f（x）不具有奇偶性，故①不正確；令a=0，b=-2，則f（x）=|x²-2|，此時f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x²-2|的對稱軸為y軸而不關于x=1對稱，故②不正確；若b-a²≥0，即f（x）的最小值b-a²≥0時，f（x）=（x-a）²+（b-a²），顯然f（x）在[a，+∞]上是增函數，故③正確；又f（x）無最大值，故④不正確．

解答：解：當a≠0時，f（x）不具有奇偶性，①錯誤；
令a=0，b=-2，則f（x）=|x²-2|，
此時f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x²-2|的對稱軸為y軸而不關于x=1對稱，②錯誤；
又∵f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|，圖象的對稱軸為x=a．
根據題意a²-b≤0，即f（x）的最小值b-a²≥0，
f（x）=（x-a）²+（b-a²），顯然f（x）在[a，+∞]上是增函數，
故③正確；
又f（x）無最大值，故④不正確．
答案：③．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．