Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)，若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后對(duì)討論.當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在單調(diào)遞增,∴在上沒(méi)有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增,即在處有極小值,無(wú)極大值.

(2)設(shè),不等式對(duì)任意恒成立,即函數(shù)在上的最小值大于零.所以求出的最小值,由最小值大于零求出的取值范圍.

試題解析:（1），

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

函數(shù)在單調(diào)遞增，∴在上沒(méi)有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值，無(wú)極大值.

∴當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn).

（2）設(shè) ，

，

不等式對(duì)任意恒成立，即函數(shù)在上的最小值大于零.

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，

由可得，

因?yàn)?/span>，所以.

②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，由可得，即.

③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，

因?yàn)?/span>，所以，

故.

即，

綜上可得，的取值范圍是.