Question

【題目】如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD，，F為棱的中點，M為線段的中點．

（1）求證：面ABCD；

（2）判斷直線MF與平面的位置關系，并證明你的結論；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）平面，證明見解析 （3）

【解析】

（1）連接AC、BD交于點O，再連接OM，利用三角形中位線定理結合平行四邊形的性質，得四邊形MOAF是平行四邊形，從而，所以平面ABCD；

（2）平面，先證明平面，再結合，可得平面；

（3）過點B作于H，可證出平面，從而BH是三棱錐的高，算出的面積并結合錐體體積公式，可得三棱錐的體積.

解：（1）接AC、BD交于點O，再連接OM，

中，OM是中位線，且，

∵矩形中，且，

且，可得四邊形MOAF是平行四邊形，

，

平面ABCD，平面ABCD，

平面ABCD；

（2）平面，證明如下

在底面菱形ABCD中，，

又平面ABCD，平面ABCD，

，

是平面內的相交直線，

平面，

平面；

（3）過點B作，垂足為H，

平面ABCD，平面ABCD,

，

是平面內的相交直線,

平面，

在中，，

，

因此，三棱錐的體積.