Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

求證：（1）PC⊥BC；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。

Answer 1

（1）先證BC⊥平面PCD （2）

試題分析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC。
由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC。
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
∴BC⊥平面PCD。
∵PC平面PCD，∴PC⊥BC。
（2）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：
易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。
又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD于PC。
∵PD=DC，PF=FC，∴DF⊥PC。∴DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.
點(diǎn)評：本題考查線面平行，線面垂直，線線垂直，考查點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定方法，利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距離．