Question

【題目】已知y=f（x）是定義域為R的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（2﹣x），
（1）寫出函數y=f（x）在x∈（﹣∞，0）時的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=a恰有兩個不同的解，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x∈（﹣∞，0）時，﹣x∈（0，+∞），

∵y=f（x）是奇函數，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）（2+x）]=x（x+2）

（2）解：由（1）得：f（x）= ．

當x∈[0，+∞）時，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，最大值為1；

∴當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，最小值為﹣1．

∴據此可作出函數y=f（x）的圖象，根據圖象得，

若方程f（x）=a恰有2個不同的解，則a=±1

【解析】（1）由奇函數的定義當x∈（﹣∞，0）時，﹣x∈（0，+∞）即f（x）=﹣f（﹣x）=x（x+2）。（2）根據題意得到分段函數，再利用二次函數的最值求出兩個極值，故可得當f（x）=a恰有2個不同的解時a=±1
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．